[mathematics] 배수 판별법

7의배수 : 일의자리수를 잘라내서 잘라내고 남은 부분에 2배를 빼면 7의 배수

ex) 364 -> 36 - (4 x 2) = 28

 

proof)

7의 배수를 10a+b (a,b는 음이 아닌 정수, b<10) 라 하면, a-2b도 7의 배수임을 보이면 된다

a-2b에 10배를 하면, 10a-20b

거기에 7의 배수인 21b를 더한, 10a+b 도 7의 배수. 역도 성립

따라서 10a+b가 7의 배수이면 a-2b도 7의 배수

 

 

11의 배수 : 홀수자리합 - 짝수자리합이 11의 배수

ex) 11x260381 = 2864191 -> 2 - 8 + 6 - 4 + 1 - 9 + 1 = -11

 

proof)

11의 배수를 a+10b+100c+1000d+10000e+100000f+.... 이라 하면, (a,b,c,d,e,f...은 음이 아닌 정수),

여기에 11의 배수인 11b+99c+1001d+9999e+100001f+...을 뺀,

a-b+c-d+e-f+... 도 11의 배수이다. 역도 성립

 

 

13의 배수 : 일의자리수를 잘라내서 잘라내고 남은 부분에 4배를 더하면 13의 배수

ex) 13x957 = 12441 -> 1244 + (1 x 4) = 1248 -> 124 + (8 x 4) = 156 -> 15 + (6 x 4) = 39

 

proof)

13의 배수를 10a+b (a,b는 음이 아닌 정수, b<10) 라 하면, a+4b도 13의 배수임을 보이면 됨

a+4b에 10배를 하고 13의 배수인 39b를 빼면 10a+b

따라서 10a+b가 13의 배수이면 a+4b도 13의 배수

 

 

 

 

다른 조건) 이 조건은 1000보다 크고 1000000000보다 작은 숫자에 한해서 쓰는 방법이겠죠

3자리씩 끊어서 더하고 뺀 값이 7/11/13의 배수이면 7/11/13의 배수

ex) 7x95284 = 666988 -> -666 + 988 = 322 = 7 x 46

ex) 11x260381 = 2864191 -> 2 - 864 + 191 = -671 = 11 x -61

ex) 13x59765 = 776945 -> -776 + 945 = 169 = 13 x 13

 

proof)

7/11/13의 배수를 a+1000b+1000000c 라 하면, (a,b,c는 1000보다 작은(세자리) 음이 아닌 정수)

7x11x13 = 1001의 배수인 1001b+999999c를 빼면, a-b+c 도 7/11/13의 배수

보너스 - 계산보다 딴데 눈길이 더 가는군..ㅡ,.ㅡ;;

[엠군]-11배수 쉽게 구하는 방식 - 11 X Table Made Easy