MuSso의 角처럼 혼자서 가라

학부 과정의 수학을 공부하는 사람들이 가장 힘들어하는 점은 어떤 순서로 수학을 공부해야 하는 지 모른다는 것이다. 중학교나 고등학교의 수학은 이름 자체가 수학 9, 수학 10, 수학 I, 수학 II 등으로 되어 있기 때문에 순서대로만 공부하면 된다. 그러나 대학의 수학은 각 분야로 나뉘기 때문에 그 순서를 가늠하기가 쉽지 않다.

일반적으로 대학의 수학 관련 과에서 공부하게 되는 과목은 다음과 같은 것들이 있다.

집합론, 미분적분학, 실해석학, 복소해석학, (수치해석학), 선형대수학, 정수론, 추상대수학, 위상수학, 논증 기하학, 미분기하학,  미분방정식, 이산수학, 통계학, (암호학) 등.

집합론은 모든 과목의 기초가 된다. 19세기 말 칸토르가 (무한) 집합론을 창조한 이후로 수학의 모든 시스템은 집합으로 표현되기 때문에다.

미분적분학은 고등학교의 내용에 비해서 조금 더 연역적이다. 또한 다변수 함수에 대한 미분과 적분도 다룬다. 미분방정식은 미분연산자로 정의된 방정식을 푸는 방법을 공부하는 과목이다. 미분적분학의 내용을 더욱 논리적으로 공부하는 과목이 해석학이라고 생각하면 된다. 특히 실해석은 실변수함수의 해석을 다루며 복소해석은 복소변수 함수의 해석을 다룬다. 예전에는 학부 수준에서 르벡적분과 측도론까지 다루었으나 지금은 거의 다루지 않는다. 위상수학은 다양한 집합상에서 극한을 다룰 수 있도록 추상화시킨 공간을 다룬다.

선형대수학은 벡터공간과 그 위에서 정의되는 특별한 함수인 선형사상에 대하여 공부하는 과목이다. 선형사상은 행렬로 표현되므로 행렬의 성질을 많이 공부하게 된다. 정수론은 정수에 관련된 연산, 수의 확장, 방정식 이론 등을 공부하는 과목이다. 추상대수학에서는 수의 연산 체계를 추상화시켜서 시스템을 구성하며 그러한 시스템에서 추상화된 방정식을 다루게 된다.

논증 기하학은 공리로 이루어진 논리 체계에서의 추론 방법을 공부하는 과목이다. 미분기하학은 논증 기하학과는 달리 미분과 적분을 이용하여 곡선과 곡면의 성질을 규명하는 방법을 공부하는 과목이다.

이산수학에서는 실생활에서 접하는 이산적인 문제를 많이 다룬다. 이를테면 가장 빠르게 접근하는 경로를 구하거나 효율적으로 경기가 이루어지도록 팀을 짜는 것이 이산수학에서 다루는 내용이다.

통계학에서는 고등학교에서 공부하는 통계와 거의 비슷한 내용을 공부하게 된다. 단, 여러 개의 변량을 동시에 다루는 방법과 통계적 검증을 추가로 공부하게 된다.

이상의 내용을 바탕으로 생각해보면 다음과 같은 순서로 공부해야 됨을 알 수 있다. 물론 이것은 내 개인적인 의견(이상한 나라 앨리스)이 많이 반영되어 있다.

+ 논증기하학은 해석학의 공리를 이해하는 데에 도움이 된다. 특히 데데킨트 정리나 완비성 공리를 이해하는 데에 도움이 된다. 하지만 굳이 논증기하학을 공부하지 않아도 해석학을 공부할 수는 있다.
+ 미분적분학을 공부한 뒤 곧바로 미분방정식을 공부할 수도 있으나, 그 경우 (푸리에 급수나 라플라스 변환까지) 깊이 공부하지는 못한다.
+ 정수론을 공부하지 않고 곧바로 추상대수학을 공부할 수도 있으나, 정수론을 먼저 공부하는 편이 훨씬 부드럽다.
+ 실해석학을 한 학기 정도 공부한 뒤에 실해석 뒷부분과 복소해석을 함께 공부하면 좋다.
+ 선형대수학은 다변수 해석을 공부하는 데에 도움이 된다. 그러나 미적분을 충실히 공부했다면 굳이 선형대수학을 공부하지 않아도 학부 수준의 해석학을 공부하는 데는 큰 무리가 없다.